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2025拓扑学(研究生课程)

2025拓扑学(研究生课程)

课程类别数学科学学院

        本课程以北京大学尤承业教授所著的《基础拓扑学讲义》前四章为教材，旨在为研究生介绍拓扑学的基本概念、理论和方法，培养学生运用拓扑学知识解决相关问题的能力，并为后续深入学习和研究奠定基础。

  1. 课程目标：帮助学生掌握拓扑空间、连续映射、同胚等基本概念，理解拓扑性质及其在判断空间同胚中的作用；熟悉紧致性、连通性等重要拓扑性质，提升对空间特性的理解和分析能力；掌握基本群的定义、计算方法及其应用，学会运用代数工具解决拓扑问题；培养学生的抽象思维、逻辑推理和数学论证能力，引导学生了解拓扑学在其他数学分支及相关学科中的应用。
  2. 课程内容
    • 拓扑空间与连续性（第 1 章）：介绍拓扑空间的定义，通过度量拓扑等实例加深理解；讲解连续映射、同胚映射的概念与性质，以及乘积空间和拓扑基的相关知识，让学生掌握拓扑空间的基本结构和映射特性。
    • 重要拓扑性质（第 2 章）：探讨分离公理与可数公理，分析其对拓扑空间的影响；介绍 Urysohn 引理、Tietze 扩张定理等重要结论及其应用；深入研究紧致性和连通性，包括它们的定义、性质及在不同空间中的表现，使学生理解这些性质对空间分类和特性描述的重要性。
    • 商空间与曲面（第 3 章）：以常见曲面为例，引入商空间和商映射的概念，阐述其构造新空间的方法；介绍拓扑流形和闭曲面的定义，讲解闭曲面的分类定理，培养学生对特殊拓扑空间的认识和分类能力。
    • 同伦与基本群（第 4 章）：解释映射同伦的概念，建立基本群的理论体系，包括道路类、基本群的定义和性质；计算\(S^n\)">球面、环面等空间的基本群，介绍 Van-Kampen 定理及其应用；运用基本群证明 Brouwer 不动点定理等，展示代数方法在拓扑学中的强大作用。
  3. 教学方法：采用课堂讲授、问题讨论、课后作业相结合的教学方式。课堂讲授注重理论推导和实例分析，帮助学生理解抽象概念；组织问题讨论，鼓励学生积极思考、发表见解，培养其团队协作和独立思考能力；布置课后作业，通过练习加深学生对知识的掌握和运用能力。
  4. 考核方式：考核由平时成绩（20%）和期末考试（80%）组成。平时成绩包括考勤、作业完成情况和课堂表现；期末考试采用闭卷考试形式，考查学生对课程内容的理解、掌握和综合运用能力。
  5. 教材及参考资料：教材选用尤承业的《基础拓扑学讲义》；参考资料包括 Munkres 的《Topology》、Armstrong 的《Basic Topology》等相关经典著作，以及国内外拓扑学领域的学术论文，拓宽学生的知识面和视野。

教师: 赵浩

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